UNIDAD 5.

Pendiente de la recta tangente a una curva

De un curva que es la gráfica de una función y=f(x), y se p un punto sobre la curva. p es el limite de la pendiente de las rectas que pasan por p y otro punto q sobre la curva cuando se acerca a p.

Teorema de Rolle

En calculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.

Si f es una funcion en la que cumple (i) f es una funcion (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)

(iii) f (a) =0 y f(b) = 0

Teorema de valor medio

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Criterio de la segunda derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función

es convexa en un intervalo abierto que contiene a

, y debe ser un mínimo relativo de . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a

y debe ser un máximo relativo de

Sea

una función tal que

y la segunda derivada de existe en un intervalo

abierto que contiene a x.

1. Si

, entonces tiene un máximo relativo en .

2. Si

, entonces tiene un mínimo relativo en .

1. Si

, entonces el criterio falla. Esto es,

quizás tenga un máximo relativo en

, un mínimo relativo en o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Unidad: 4 CALCULO DIFERENCIAL

DERIVADA:

DEFINICIÓN DEDERIVADA

Del latín derivātus, derivada es un término que puede utilizarse como sustantivo o como adjetivo. En el primer caso, se trata de una noción de la matemática que nombra al valor límite del vínculo entre el aumento del valor de una función y el aumento de la variable independiente.

La derivada, por lo tanto, representa cómo se modifica una función a medida que su entrada también registra alteraciones. En los casos de las funciones de valores reales de una única variable, la derivada representa, en un cierto punto, el valor de la pendiente de la recta tangente al gráfico de la función en dicho punto.

CONCEPTO DE DERIVADAS:

Derivada en un punto:

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

TIPOS DE DERIVADAS:

Derivadas inmediatas

Fórmulas de derivadas

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de un producto

Derivada de un cociente